Экзамен ААА — Странная летучка: верные утверждения по теорверу

Условие

Тип задачи — выбор всех верных утверждений из списка по теории вероятностей, мат. анализу и линейной алгебре. На экзамене ААА 2025 в задаче «Странная летучка» нужно выбрать все верные утверждения. Задание формулируется как «утверждениеX верно тогда и только тогда, когда…».

В источнике даны конкретные утверждения о случайных величинах и распределениях. Ниже — типичный набор и разбор.

Типовой формат

«Какие из следующих утверждений верны?»

1. Если X, Y независимы, то D[X + Y] = D[X] + D[Y].
2. Если X, Y некоррелированы, то они независимы.
3. Если X ~ N(0, 1), то X² имеет распределение χ²(1).
4. E[X² ] = (E[X])² всегда.
5. Для любых X, Y: E[XY] = E[X] · E[Y].
6. Если X, Y имеют одинаковое распределение, то X = Y почти наверное.
7. Сумма n независимых одинаково распределённых случайных величин имеет нормальное распределение.
8. Если E[X] = 0, то и D[X] = 0.

Решение

По каждому утверждению

1. Независимы → D[X + Y] = D[X] + D[Y]. ✓

Это верно. Дисперсия суммы независимых = сумма дисперсий (т.к. cov(X, Y) = 0). В общем виде: D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2 cov(X, Y).

2. Некоррелированы → независимы. ✗

Неверно. Контрпример: X ~ U(-1, 1), Y = X². Тогда:

• cov(X, Y) = E[X · X²] - E[X] · E[X²] = E[X³] − 0 · E[X²] = 0.
• Но Y полностью определяется X — ZAвисимость очевидна.

Только в многомерном нормальном случае некоррелированность ⇔ независимость.

3. X ~ N(0, 1) → X² ~ χ²(1). ✓

Верно по определению χ²(k) = сумма квадратов k независимых стандартных нормальных. Здесь k=1.

4. E[X²] = (E[X])². ✗

Неверно в общем случае. E[X²] − (E[X])² = D[X] ≥ 0. Равенство только при D[X] = 0, т.е. константа.

5. E[XY] = E[X] · E[Y]. ✗

Неверно в общем случае. Верно только при некоррелированности (включая независимость). Контрпример: X = Y, тогда E[XY] = E[X²] ≠ (E[X])² (если не константа).

6. Одинаково распределены → X = Y почти наверное. ✗

Неверно. «Одинаковое распределение» — слабее, чем «равны». Бросаем две монеты — обе Bern(1/2), но это две разные случайные величины.

7. Сумма n независимых одинаково распределённых → нормальное. ✗

Неверно в точном смысле. ЦПТ говорит, что нормированная сумма (S_n − n μ) / (σ √n) сходится к N(0, 1) при n → ∞. Сама сумма — нет. Точное равенство «сумма = нормальная» только если слагаемые сами нормальные (свойство устойчивости).

8. E[X] = 0 → D[X] = 0. ✗

Неверно. D[X] = E[X²] − 0 = E[X²]. Например, X ~ N(0, 1): E[X] = 0, но D[X] = 1.

Итог: верные — 1 и 3.

Тонкости отдельных пунктов (часто на экзаменах)

χ² против суммы квадратов

X² = Y₁² распределено как Gamma(1/2, 2) = χ²(1). Плотность:

f_Y(y) = 1 / (√(2πy)) · exp(-y/2),  y > 0

Когда некоррелированность ⇒ независимость

Только в гауссовских случаях (или эквивалентно — линейные функции от независимых нормалей).

ЦПТ vs «Сумма нормальная»

ЦПТ — асимптотика. Точное:

• Сумма n нормальных независимых одинаково распределённых = нормальная (свойство устойчивости).
• Сумма пуассоновских = пуассоновская (с суммой параметров).
• Сумма Cauchy = Cauchy (с суммой параметров) — кстати, у Cauchy ЦПТ не работает (нет конечной дисперсии).

Подводные камни

1. Некоррелированность ≠ независимость — самая частая ловушка.
2. «Сумма нормальных» — есть «свойство устойчивости» только для нормальных, пуассоновских и нескольких других. ЦПТ — про асимптотику.
3. χ² распределение — сумма квадратов n стандартных нормальных. Не путать с t или F.
4. E[XY] = E[X] · E[Y] только при независимости / некоррелированности.
5. «Почти наверное» — равенство с вероятностью 1. Различать с обычным равенством.
6. D[X − Y] = D[X] + D[Y] для независимых (НЕ D[X] − D[Y]!).

Эталонный ответ

В типовом наборе верны утверждения 1 (D[X+Y] = D[X] + D[Y] для независимых) и 3 (X ~ N(0,1) ⇒ X² ~ χ²(1)).

Ловушки: некоррелированность не означает независимости (контрпример X, X²); сумма iid не нормальна, только асимптотически по ЦПТ; одинаковое распределение не равно равенству.