Crazy Panda — три москвича говорят про дождь: байесовская задача

Условие

Вы летите в Москву и хотите решить, стоит ли брать зонт. Звоните трём случайным москвичам и спрашиваете, идёт ли дождь. Каждый говорит правду с вероятностью 3/5 и врёт с вероятностью 2/5. Каждый утверждает, что у него за окном идёт дождь.

Какова вероятность, что действительно идёт дождь? В среднем в Москве 30 дождливых дней за год. Опишите процесс решения.

Решение

Подход

Это классическая байесовская задача. Дано:

• Априорная вероятность дождя: $P(R) = 30/365 \approx 0.0822$.
• Правдивость каждого: $P(\text{говорит правду}) = 3/5$.

Наблюдение: все трое сказали «дождь идёт» — обозначим как событие $E$.

Нужно: $P(R \mid E)$ — апостериорная вероятность дождя при условии трёх «дождь»-ответов.

Предположение: правдивость трёх москвичей — независимые события, и они отвечают независимо друг от друга.

Реализация — байесовский расчёт

1. Правдоподобие при условии «дождь идёт»

Если действительно дождь, каждый москвич говорит «дождь» когда говорит правду — с вероятностью 3/5. Вероятность всех трёх сказать «дождь»:

2. Правдоподобие при условии «дождя нет»

Если дождя нет, москвич говорит «дождь» только когда врёт — с вероятностью 2/5. Вероятность всех трёх соврать:

3. Полная вероятность события

4. Байесовская формула

Анализ / интерпретация

Ответ: примерно 23%.

Несмотря на то, что три «свидетеля» подтвердили дождь, апостериорная вероятность дождя — всего около 23%. Причина — низкая априорная вероятность ($\approx 8\%$) и не очень высокая «правдивость» ($3/5 = 60\%$).

Если бы каждый говорил правду с вероятностью 90%, ответ был бы:

— уверенность 98.5%. Видим, как чувствительность ответа к «правдивости» свидетеля очень высокая.

Реализация — Python (sanity check симуляцией)

import numpy as np
np.random.seed(42)
N = 1_000_000
prior_rain = 30/365
truth = 3/5
 
rain = np.random.rand(N) < prior_rain
# Для каждого жителя: говорит правду с p=truth, иначе врёт
# Если дождь и правда → "дождь"; если дождь и врёт → "нет"
# Если нет дождя и правда → "нет";  если нет дождя и врёт → "дождь"
def answers(rain):
    a = np.zeros((N, 3), dtype=bool)  # True = ответил "дождь"
    for i in range(3):
        truthful = np.random.rand(N) < truth
        a[:, i] = np.where(rain, truthful, ~truthful)
    return a
 
a = answers(rain)
all_say_rain = a.all(axis=1)
posterior = rain[all_say_rain].mean()
print(f"P(R | all 3 said 'rain') ≈ {posterior:.4f}")
# ~0.2321

Подводные камни

1. Игнорировать априорную вероятность. «Три из трёх сказали — значит, точно дождь». Это интуиция, ломающаяся, когда базовый rate низок (paradox of low base rate).
2. Перепутать $P(E \mid R)$ и $P(R \mid E)$. Это не одно и то же: первое — «вероятность увидеть три "дождя", если он идёт», второе — «вероятность дождя, если все трое сказали "дождь"». Это ровно то, для чего нужна теорема Байеса.
3. Зависимость москвичей. Условие предполагает независимость их ответов. В реальности это не так: они смотрят в общее окно общей погоды, и если у одного «дождь» — у других вероятнее тоже дождь. Но в задаче москвичи случайные и их ответы условно независимы при заданной погоде — это корректное допущение.
4. 30 дней — это база на год, но не на сегодня. В реальности зимой и летом дожди разные. Если бы знали месяц — prior уточнить.
5. Бинарность ответа «правду / неправду». В реальности человек может «не быть уверен», окно может быть в крытом помещении и т.п. Задача упрощённая — модель честная.

Эталонный ответ

$P(R \mid \text{3 «дождь»}) \approx 23.2\%$.

Расчёт: prior $30/365$, likelihood «дождь» $\to (3/5)^3$, likelihood «не дождь» $\to (2/5)^3$, теорема Байеса. Главное — не путать $P(E \mid R)$ с $P(R \mid E)$ и учитывать априорную вероятность.