Условие
В море плавают ледники трёх размеров. Маленьких в 5 раз больше, чем больших, средних — в 4 раза больше, чем больших. Вероятность того, что на леднике лежит тюлень: 0.6 для маленького, 0.7 для среднего, 0.9 для большого.
Найдите вероятность того, что ледник, выбранный наугад из всех ледников с тюленем, имеет какой-то заданный размер. Введите ответ, умноженный на 100 и округлённый по математическим правилам.
Вариация задачи на собесе обычно просит P(средний | тюлень) — посчитаем все три и обсудим.
Решение
Шаг 1. Веса размеров
Пусть «больших» — 1 единица. Тогда «маленьких» — 5, «средних» — 4. Всего 5 + 4 + 1 = 10 единиц.
Доли (априорные вероятности случайно выбранного ледника):
P(small) = 5/10 = 0.5,P(medium) = 4/10 = 0.4,P(large) = 1/10 = 0.1.
Шаг 2. Полная вероятность тюленя
P(тюлень) = 0.5·0.6 + 0.4·0.7 + 0.1·0.9 = 0.30 + 0.28 + 0.09 = 0.67
Шаг 3. Байес
P(small | тюлень) = (0.5·0.6) / 0.67 = 0.30 / 0.67 ≈ 0.4478 → ×100 ≈ 44.78 → округление: 45.
P(medium | тюлень) = 0.28 / 0.67 ≈ 0.4179 → ×100 ≈ 41.79 → 42.
P(large | тюлень) = 0.09 / 0.67 ≈ 0.1343 → ×100 ≈ 13.43 → 13.
Сумма: 45 + 42 + 13 = 100 (с погрешностью округления).
Эталонный ответ
Один из трёх в зависимости от формулировки. Чаще всего просят P(маленький | тюлень) ≈ 45 или P(средний | тюлень) ≈ 42.
Решение в одну формулу: P(size | seal) = P(seal | size) · P(size) / P(seal), где знаменатель — закон полной вероятности.
Подводные камни
- Спутать априорные пропорции с пропорциями «среди всех ледников». Вне условия часто говорят «больших столько-то процентов» — здесь пропорции через коэффициенты «в N раз», нужно нормировать.
- Считать без знаменателя. Просто
P(seal | size) · P(size)— это не вероятность, а её числитель. - Округление. Условие говорит «по правилам математики» — обычно это «.5 → к чётному», но в школьном смысле «.5 → вверх». Уточните или приложите оба варианта.