Условие

В корзине 85 чёрных и 15 красных мячей. Мяч достаём, фиксируем цвет, возвращаем обратно. 100 повторений. Оценить 95%-доверительный интервал количества вытянутых красных мячей. Указать левую (наименьшую) границу, округлённую вниз.

Решение

Подход

Возврат с заменой → биномиальное распределение X ~ Binomial(n=100, p=0.15).

E[X] = n·p = 100·0.15 = 15.
Var(X) = n·p·(1−p) = 100·0.15·0.85 = 12.75.
SD(X) = √12.75 ≈ 3.5707.

При n·p ≥ 5 и n·(1−p) ≥ 5 нормальная аппроксимация работает:

X ≈ Normal(15, 3.5707)

95% доверительный интервал по нормальному:

[μ − 1.96·σ , μ + 1.96·σ] = [15 − 6.998 , 15 + 6.998] = [8.002 , 21.998]

Округление вниз

8.002 → 8.

Реализация в Python

import math
from scipy.stats import norm, binom
 
n, p = 100, 0.15
mu = n * p
sigma = math.sqrt(n * p * (1 - p))
 
z = norm.ppf(0.975)               # 1.96
lo = mu - z * sigma               # 8.002...
hi = mu + z * sigma               # 21.998...
print(math.floor(lo), math.ceil(hi))  # 8, 22
 
# Точнее - через биномиальные квантили
print(binom.ppf(0.025, n, p), binom.ppf(0.975, n, p))  # 8.0, 22.0

Ответ

Левая граница = 8 (с округлением вниз 8.002).

Подводные камни

С возвратом / без возврата. При без возврата распределение — гипергеометрическое, дисперсия меньше. Здесь явно «возвращаем» → биномиальное.
Какой интервал. Существует доверительный интервал параметра (Wilson, Clopper–Pearson) и prediction interval для случайной величины. Здесь нужен второй: интервал самого числа, а не оценки p.
Нормальная аппроксимация vs точный. При больших n и p не у краёв оба совпадают. Здесь n·p=15 — нормальная работает.
Округление. «Вниз» — это floor, а не «по правилу банка». 8.002 → 8.
«Левая граница 1.96σ» — это для двустороннего 95%. Если задача про одностороннюю — z = 1.645.

Эталонный ответ

X ~ Bin(100, 0.15) → μ=15, σ≈3.57 → 95% prediction interval [8.00, 22.00]. Левая граница, округлённая вниз: 8.

JetLend — 95% доверительный интервал числа красных мячей