Условие

На электростанции есть две одинаковые и независимые турбины. У каждой:

время до поломки распределено экспоненциально с известным параметром τ;
время до починки от момента поломки также экспоненциально с параметром m.

В момент t = 0 обе турбины работают исправно. Какова вероятность, что хотя бы одна турбина исправна в момент T?

Решение

Подход

Поскольку турбины независимы и одинаковы, считаем вероятность для одной, потом через дополнение к «обе сломаны». Сложность задачи — каждая турбина это двухсостоянная марковская цепь: «работает (W) ↔ ремонтируется (R)». Стационарная динамика дана интенсивностями переходов.

Стационарное распределение для одной турбины

Обозначим параметры: турбина ломается с интенсивностью λ = 1/τ (среднее время до поломки = τ), чинится с интенсивностью μ = 1/m.

Переходы:

W → R с интенсивностью λ.
R → W с интенсивностью μ.

Вероятность быть в состоянии W в момент t, при условии что в t=0 турбина в W:

p_W(t) = \frac{\mu}{\lambda + \mu} + \frac{\lambda}{\lambda + \mu} e^{-(\lambda + \mu) t}

Это решение системы Колмогоровских уравнений p_W' = -λ p_W + μ (1 - p_W) с условием p_W(0) = 1.

Стационарное значение (t → ∞) — μ / (λ + μ) = τ / (τ + m) · (m·τ)/(...), аккуратно: μ/(λ+μ) = (1/m)/(1/τ + 1/m) = τ/(τ+m).

Подставляем

При λ = 1/τ, μ = 1/m:

p_W(T) = \frac{\tau}{\tau + m} + \frac{m}{\tau + m} \cdot e^{-(1/\tau + 1/m) T}

Хотя бы одна работает

Турбины независимы, поэтому P(обе сломаны в момент T) = (1 - p_W(T))^2.

P(\text{хотя бы одна работает}) = 1 - (1 - p_W(T))^2

Подставив:

1 - p_W(T) = \frac{m}{\tau + m} - \frac{m}{\tau + m} e^{-(1/\tau + 1/m) T} = \frac{m}{\tau + m} \left(1 - e^{-(1/\tau + 1/m) T} \right)

Итог:

P(\geq 1\,\text{работает в }T) = 1 - \left[ \frac{m}{\tau+m} \left(1 - e^{-(1/\tau + 1/m) T} \right) \right]^2

Реализация (численно)

import numpy as np
 
def p_at_least_one_working(T, tau, m):
    lam = 1 / tau
    mu  = 1 / m
    p_W = mu/(lam+mu) + lam/(lam+mu) * np.exp(-(lam+mu)*T)
    return 1 - (1 - p_W) ** 2
 
# Например, tau = 100h, m = 5h, T = 50h
print(p_at_least_one_working(50, 100, 5))

Проверки

При T=0: p_W = 1 → P(≥1) = 1. ✓
При T → ∞: p_W = τ/(τ+m). Для маленького m ≈ 1, для большого m стремится к 0. Логично.

Подводные камни

«Время до поломки» — это до первой поломки или между? Условие говорит «обе работают в t=0», поэтому отсчёт от рабочего состояния.
Допущение независимости. Для двух турбин на одной станции это спорно (общая электросеть, обслуживание). Но условие даёт независимость — используем.
Параметризация экспоненты. Exp(λ) с плотностью λ e^{-λt} имеет среднее 1/λ. В физике часто пишут «среднее τ» — тогда λ = 1/τ. Уточняйте.
Стационарное предположение vs «начальное». Если бы условие было «в t=0 распределение стационарное», ответ был бы проще: p_W = τ/(τ+m) константа. Но дано «обе работают» — есть переходный режим.
Память экспоненты. Это ключевое свойство, позволяющее сводить задачу к марковской цепи.

Эталонный ответ

P(\geq 1\,\text{работает в }T) = 1 - \left( \frac{m}{\tau+m} \right)^2 \left( 1 - e^{-(1/\tau + 1/m) T} \right)^2

При T → ∞ стремится к 1 - (m/(τ+m))^2, при T = 0 равно 1. Решение через марковскую цепь «работает ↔ ремонтируется» с интенсивностями 1/τ и 1/m.

Retentioneering: вероятность работающей турбины через время T