Условие

В королевстве смурфиков каждая пара рожает детей до тех пор, пока не родится девочка, после чего детей не заводит. Какое распределение полов в королевстве?

Решение

Интуиция (часто неверная)

Кажется, что «все семьи останавливаются на девочке, значит девочек больше». Это заблуждение.

Подход

Считаем ожидаемое число мальчиков и девочек у одной пары. Каждое рождение — независимый бросок честной монеты: P(М) = P(Ж) = 1/2.

Ожидаемое число девочек на семью

Каждая семья заводит ровно одну девочку (последнего ребёнка). Значит E[Ж] = 1.

Ожидаемое число мальчиков на семью

Это число рождений до первой девочки минус 1 — геометрическое распределение.

P(0 мальчиков) = 1/2   (первая попытка — Ж)
P(1 мальчик)   = 1/4   (МЖ)
P(2 мальчика)  = 1/8   (ММЖ)
...
E[М] = Σ k · (1/2)^(k+1) = 1

Вывод — соотношение 50/50

Даже при «до первой девочки» соотношение мальчиков и девочек ровно 1:1. Распределение полов равномерное.

Объяснение «без формул»

Каждое отдельное рождение — независимый честный бросок монеты. Стратегия «когда остановиться» не меняет базовую вероятность каждого исхода. Никакая стратегия родителей не может сместить математическое ожидание полов в популяции.

Симуляция

import random
def family():
    boys = 0
    while True:
        ch = random.choice(['M', 'F'])
        if ch == 'F':
            return boys, 1
        boys += 1
 
import statistics
N = 10**6
data = [family() for _ in range(N)]
mean_boys = statistics.mean(b for b, _ in data)
mean_girls = statistics.mean(g for _, g in data)
# обе ~ 1.0

Где парадокс

Парадокс — в селективном восприятии: мы видим, что каждая семья имеет ровно одну девочку, и кажется, что девочек «как минимум столько же, сколько семей». Но и мальчиков рождается столько же — просто они распределены неравномерно по семьям (у кого-то 0, у кого-то 5).

Конечная популяция

При конечном числе семей будут флуктуации, но ожидаемое значение — равенство.

Подводные камни

«Девочек больше, потому что все семьи остановились на девочке» — нет: ожидаемое число рождений мальчиков = 1, ровно столько же.
Считать долю семей с мальчиками — ≠ доля мальчиков в популяции. У 50% семей есть хоть один мальчик, но в среднем мальчиков и девочек поровну.
Конечный лимит на детей — если семьи останавливаются после k детей даже без девочки, баланс смещается. В классической постановке лимита нет.
Биология реальная — в реальной жизни вероятность мальчика чуть выше (≈51.2%), но это не часть задачи.

Эталонный ответ

Распределение равномерное — 50/50.

E[мальчиков на семью] = 1, E[девочек на семью] = 1. Стратегия «до девочки» не меняет базовых вероятностей одного рождения — каждое рождение честный бросок монеты.

Вероятность — Королевство смурфиков: распределение полов при стратегии «до девочки»