Вероятность — две точки внутри квадрата 1/3 в единичном квадрате

Условие

Пусть P, Q — независимые случайные равномерно распределённые точки в единичном квадрате. Какова вероятность того, что существует квадрат со сторонами, параллельными исходному, длиной 1/3, внутри которого лежат обе точки?

Ответ введите в виде несократимой дроби (например, 1/2).

Решение

Подход — независимость по координатам

Пусть P = (X_1, Y_1), Q = (X_2, Y_2). Все 4 координаты независимы и равномерны на [0, 1].

«Существует квадрат со стороной 1/3, содержащий обе точки» эквивалентно тому, что:

(если расстояние по обеим осям не больше 1/3, можно построить выровненный квадрат, охватывающий обе точки).

В силу независимости X и Y:

Шаг — P(|U − V| ≤ a) для U, V ~ Unif(0, 1)

Геометрия в квадрате [0,1]^2: вероятность того, что точка (U, V) попадёт в полосу |u − v| ≤ a.

Площадь дополнения = две треугольные «угловые» области с катетами 1 − a каждая:

Тогда:

При a = 1/3:

Финальный ответ

Проверка симуляцией

import random
N = 1_000_000
ok = 0
for _ in range(N):
    x1, y1 = random.random(), random.random()
    x2, y2 = random.random(), random.random()
    if abs(x1 - x2) <= 1/3 and abs(y1 - y2) <= 1/3:
        ok += 1
print(ok / N)  # ≈ 0.3086 (= 25/81 ≈ 0.30864)

Подводные камни

1. «Квадрат» допускает любое положение. Условие «параллельные стороны» = квадрат-обёртка с осями. Если по разности координат укладываются в 1/3 — квадрат заведомо влезает в [0,1] (при необходимости сдвигаясь). Корректность: при |x_1 − x_2| = 1/3, можно поставить квадрат от min до min + 1/3, всё внутри.
2. Считать через площадь объединения двух квадратов 1/3 × 1/3. Это другой вопрос: вероятность того, что обе попадут в один и тот же фиксированный квадрат. Здесь же квадрат зависит от точек.
3. Перемножать вероятности только потому, что X и Y независимы. Это работает, потому что условие декомпозируется по координатам — не всегда так, нужно это проверить.

Эталонный ответ

25/81.