Условие

Петя идёт с постоянной скоростью 6 км/ч. Собака выходит на минуту позже, догоняет и обгоняет хозяина со скоростью 12 км/ч, дальше:

бежит со скоростью 12 км/ч, пока не окажется на 100 м впереди;
замедляется до 3 км/ч, идёт пока хозяин не окажется на 100 м впереди;
снова бежит 12 км/ч — и так далее.

Петя заметил, что когда он входил в магазин, собака догнала его во второй раз.

Сколько секунд длился путь?

Решение

Перевод единиц

6 км/ч = 6000 м / 3600 с = 5/3 м/с ≈ 1.667 м/с.

12 км/ч = 10/3 м/с ≈ 3.333 м/с.

3 км/ч = 5/6 м/с ≈ 0.833 м/с.

Шаг 1. Собака догоняет Петю в первый раз

Петя стартовал в момент 0 со скоростью 5/3. К моменту t = 60 c Петя в позиции 5/3 * 60 = 100 м. Собака стартует в t = 60 со скоростью 10/3.

Догон: разрыв 100 м, относительная скорость 10/3 - 5/3 = 5/3 м/с. Время на догон: 100 / (5/3) = 60 с. Значит первый догон в момент t = 120 c. Позиция: Петя 5/3 * 120 = 200 м. Собака там же.

Шаг 2. Собака обгоняет на 100 м

Дальше собака идёт 10/3, Петя 5/3. Относительная 5/3. Чтобы оторваться на 100 м, нужно 100 / (5/3) = 60 c. В момент t = 180 c собака на 200 + 10/3 * 60 = 400 м, Петя на 200 + 5/3 * 60 = 300 м. Разница ровно 100 м.

Шаг 3. Собака замедляется, Петя её обгоняет на 100 м

Теперь собака 5/6, Петя 5/3. Относительная (Петя − собака) = 5/3 - 5/6 = 5/6 м/с. Расстояние, которое нужно «съесть»: 100 м (собака впереди), потом ещё 100 м (Петя должен оказаться на 100 м впереди). Итого 200 м. Время: 200 / (5/6) = 240 c.

В момент t = 180 + 240 = 420 c. Позиция Пети: 300 + 5/3 * 240 = 700 м. Позиция собаки: 400 + 5/6 * 240 = 600 м. Петя действительно на 100 м впереди. ✓

Шаг 4. Собака снова бежит 12 км/ч, догоняет Петю «второй раз»

Собака 10/3, Петя 5/3. Относительная 5/3. Разрыв 100 м, время на догон: 100 / (5/3) = 60 c.

В момент t = 420 + 60 = 480 c собака догоняет Петю — это второй раз.

В этот же момент Петя входит в магазин (по условию).

Ответ

t = 480 секунд (или 8 минут).

Эталонный ответ

480 секунд.

Подводные камни

«Догнала во второй раз» = равенство позиций в одном и том же месте — два раза. Первый раз — после стартового опоздания. Между ними была фаза «собака впереди».
Не считать «догнала» каждое движение к Пете. Считать момент совпадения позиций.
Перевод единиц. Ошибка в одном множителе — ответ в разы.
Состыковки фаз. Нужно убедиться, что в момент t = 420 собака действительно ускорится (по условию: «...пока хозяин не окажется на 100 м впереди, после чего снова начинает бежать со скоростью 12»). Да, момент совпадает.
Стартовая минута. Минута Петя ходил один — она тоже считается в общий путь.

Логика — Петя с собакой (расчёт времени пути)