Условие

Вася выписал на доску различные натуральные числа. Каждое число обладает ровно одним из свойств:

делится на 2, но не делится на 3, либо
делится на 3, но не делится на 2.

Петя посмотрел и сказал: «Можно 25 способами выбрать тройку чисел так, чтобы среди них было хотя бы одно чётное и хотя бы одно делящееся на 3».

Сколько чисел написал Вася?

Решение

Шаг 1. Обозначения

Пусть a — количество чисел, делящихся на 2 и не делящихся на 3 («чётные не-3»). Пусть b — количество чисел, делящихся на 3 и не делящихся на 2 («нечётные кратные 3»). Всего чисел n = a + b.

Никаких других чисел нет (по условию).

Шаг 2. Пересчитываем «хорошие» тройки

Хорошая тройка — это «хотя бы один чётный И хотя бы один кратный 3».

Так как множество разбито на две непересекающиеся группы (a и b), любая тройка состоит из k чисел из группы a и 3 − k из группы b, где k ∈ {0,1,2,3}.

Тройка содержит:

хотя бы одного чётного → k ≥ 1;
хотя бы одно кратное 3 → 3 − k ≥ 1, то есть k ≤ 2.

Получаем k ∈ {1, 2}. Это тройки вида (2 чётных + 1 кратное 3) и (1 чётное + 2 кратных 3).

Количество:

N = C(a,2) * C(b,1) + C(a,1) * C(b,2)
  = (a*(a-1)/2) * b + a * (b*(b-1)/2)
  = a*b/2 * ((a-1) + (b-1))
  = a*b/2 * (a + b - 2)

Шаг 3. Уравнение

a*b*(a + b − 2) / 2 = 25

Откуда a*b*(a + b − 2) = 50.

Шаг 4. Подбор натуральных решений

a, b ≥ 1 (иначе одно из условий «хотя бы одно» не выполнится; кстати, если a = 0 или b = 0, то и «хороших троек» 0).

Пробуем разложения 50 = a * b * (a + b − 2):

a = 1, b = ?: b * (b − 1) = 50 → b^2 − b − 50 = 0, корень нецелый.
a = 2, b = ?: 2b * b = 50 → b^2 = 25, b = 5. Проверка: a + b − 2 = 5, a*b = 10, итого 10 * 5 = 50. ✓
a = 5, b = 2: симметрично, тоже подходит, a + b = 7, n = 7.
a = 5, b = 5: 25 * 8 = 200, не подходит.
a = 1, b = 10: 10 * 9 = 90, не подходит.
a = 2, b = 5 уже нашли.

Других целых решений в натуральных числах нет.

Шаг 5. Ответ

В обоих случаях a + b = 7. Значит, Вася написал 7 чисел.

Подводные камни

«Хотя бы один и хотя бы один». Часто читают как «ровно один». Здесь именно «хотя бы»: тройка может состоять из 2 чётных и 1 кратного 3 — это тоже подходит.
Числа делятся одновременно. В условии явно сказано: либо одно, либо другое, не пересечение. Так что чисел, делящихся на 6, нет.
Сразу считать через дополнение. Альтернатива: C(n,3) − C(a,3) − C(b,3) (все тройки минус «только чётные» минус «только кратные 3»). Должно дать тот же ответ. Полезно для проверки.
Симметрия. Решения (a,b) = (2,5) и (5,2) дают одно и то же n, но разные распределения. На вопрос «сколько чисел» ответ один: 7.
a = 0 или b = 0. Тогда одно из «хотя бы одно» не выполняется → 0 троек. Не путать с условием.

Эталонный ответ

a*b*(a + b − 2) = 50. Натуральные решения: (a,b) ∈ {(2,5), (5,2)}. Итого Вася выписал n = a + b = 7 чисел.

Проверка через дополнение: при a = 2, b = 5 всего троек C(7,3) = 35. «Только чётные» (k=3) — C(2,3) = 0. «Только кратные 3» — C(5,3) = 10. Хорошие = 35 − 0 − 10 = 25. ✓

Задача — комбинаторика: сколько чисел выписал Вася