Условие

Найдите

I = \int_0^1 (1 - \sqrt[4]{x})^{96}\, dx

В качестве ответа введите 1/I, округлённое до ближайшего целого.

Решение

Подход — подстановка + бета-функция

Сделаем замену t = x^(1/4), тогда x = t^4, dx = 4t^3 dt. Пределы: x = 0 → t = 0, x = 1 → t = 1.

I = \int_0^1 (1 - t)^{96} \cdot 4t^3\, dt = 4 \int_0^1 t^3 (1 - t)^{96}\, dt = 4 \cdot B(4, 97)

Бета-функция: B(p, q) = (p−1)! · (q−1)! / (p+q−1)!.

B(4, 97) = \frac{3! \cdot 96!}{100!} = \frac{6 \cdot 96!}{100!} = \frac{6}{97 \cdot 98 \cdot 99 \cdot 100}

Считаем:

97 * 98 = 9506
99 * 100 = 9900
9506 * 9900 = 94 109 400
B(4, 97) = 6 / 94 109 400 = 1 / 15 684 900

Тогда:

I = 4 \cdot \frac{1}{15\,684\,900} = \frac{4}{15\,684\,900} = \frac{1}{3\,921\,225}

Ответ

1/I = 3 921 225.

Проверка через Python

from scipy.special import beta
I = 4 * beta(4, 97)
print(round(1 / I))  # 3921225

Альтернатива — биномиальное разложение (длиннее)

(1 − t)^96 = Σ C(96,k) (−t)^k. Подставляем и интегрируем t^(3+k) от 0 до 1: получаем сумму 4 * Σ C(96,k) (−1)^k / (4+k).

Это можно посчитать численно, ответ совпадёт. Бета-функция элегантнее.

Подводные камни

Пропустить dx. Замена меняет элемент интегрирования: dx = 4t^3 dt — забыть и потерять множитель 4.
Бета-функция: какие пределы. B(p,q) = ∫_0^1 t^(p−1) (1−t)^(q−1) dt. Поэтому t^3 (1−t)^96 соответствует p−1 = 3, q−1 = 96, то есть p=4, q=97.
Целочисленное округление. 1/I уже даёт целое число (3 921 225) благодаря целочисленным факториалам — округлять формально не нужно, но условие требует.

Эталонный ответ

1/I = 3 921 225.

Расчёт: I = 4 · B(4, 97) = 6/97·98·99·100 · 4 / 6 = 4 / (97·98·99·100) = 4 / 94 109 400. Тогда 1/I = 94 109 400 / 4 = 23 527 350. Проверим вычисление чисел.

Стоп: правильный пересчёт: B(4,97) = 3!·96! / 100! = 6 / (97·98·99·100) = 6 / 94 109 400. I = 4·B(4,97) = 24 / 94 109 400 = 1 / 3 921 225. 1/I = 3 921 225.

Математика — интеграл (1 − x^(1/4))^96 от 0 до 1, найти 1/I