Математика — предел отношения членов рекуррентной последовательности a_n = 4a_{n−1} + 3a_{n−2}

Условие

Пусть a_n = 4·a_{n−1} + 3·a_{n−2}, и a_0 = a_1 = 1. Пусть

Найдите L^2 + 9·L^{−2}.

Решение

Подход — характеристическое уравнение

Для линейной рекуррентности a_n = 4 a_{n−1} + 3 a_{n−2} характеристическое уравнение:

Решая:

Корни: x_1 = 2 + √7 ≈ 4.6458, x_2 = 2 − √7 ≈ −0.6458.

При n → ∞ доминирует наибольший по модулю корень. |x_1| ≈ 4.65 > |x_2| ≈ 0.65. Поэтому:

Вычисление L^2 + 9·L^{−2}

L = 2 + √7. Найдём L^2:

Найдём L^{−1}. Поскольку L — корень x^2 − 4x − 3 = 0, имеем L^2 − 4L − 3 = 0, то есть L^2 = 4L + 3. Значит:

Тогда:

Складываем:

Ответ

L^2 + 9·L^{−2} = 22.

Элегантное наблюдение

L^2 + 9/L^2. Раскрыв через L^2 − 4L − 3 = 0 ⇒ L^2 = 4L + 3. Тогда 1/L^2 = ?. Используем L^2 − 4L − 3 = 0 ⇒ делим на L^2: 1 − 4/L − 3/L^2 = 0 ⇒ 3/L^2 = 1 − 4/L ⇒ 9/L^2 = 3 − 12/L. Это сложнее, поэтому через √7-форму проще.

Проверка численно

import math
L = 2 + math.sqrt(7)
print(L**2 + 9 / L**2)  # 22.0

Подводные камни

1. Корень с минусом доминирует? |2 − √7| ≈ 0.65 < |2 + √7| ≈ 4.65. Поэтому именно положительный корень даёт предел.
2. Знак второго корня. 2 − √7 < 0. Если бы он был больше по модулю, последовательность колебалась бы и предел a_n/a_{n−1} мог не существовать. Здесь модуль меньше — он быстро исчезает.
3. Зависимость от начальных условий. Для существования предела нужно, чтобы коэффициент перед доминирующим корнем не был нулём. При a_0 = a_1 = 1 коэффициенты гарантированно ненулевые.

Эталонный ответ

22. Корень характеристического уравнения x^2 − 4x − 3 = 0 с большим модулем — L = 2 + √7. Тогда L^2 + 9/L^2 = 22.