Условие

У Пети уборка занимает час. Он узнаёт о принципе Парето: «20% усилий дают 80% результата». Решает применять его рекурсивно:

Сначала убирает 80% бардака за 20% обычного времени.
Затем убирает 80% оставшегося бардака за 20% того времени, которое это должно было занять.
Повторяет, пока всё не убрано.

Бардак равномерный (то есть на оставшиеся 20% «обычно» уходит 20% времени = 12 минут).

Сколько минут сэкономит Петя?

Решение

Шаг 1. Понять, что значит «20% от времени, которое это должно было занять»

Полное время уборки = 60 мин.

Первый шаг: убирает 80% бардака за 20% от обычного времени. Обычно эти 80% занимают пропорционально 80% времени = 48 мин. Парето говорит: за 20% от обычного, то есть 0.20 * 48 = 9.6 мин.

Остался: 20% бардака. На него «обычно» уходит 12 мин.

Второй шаг: убирает 80% оставшегося = 16% исходного, за 0.20 * 0.20 * 12 = 0.20 * 12 * 0.20 = 0.48, нет, давайте аккуратно.

Парето применяет к новой оставшейся работе: «убрать 80% бардака за 20% того времени, которое это должно было занять». Обычно убрать 80% оставшихся 20% бардака — это 80% от 12 минут = 9.6 минут (так как бардак равномерный, 80% от 12 минут даёт 80% бардака). По Парето он делает это за 0.20 * 9.6 = 1.92 мин.

Шаг 2. Геометрическая прогрессия

Пусть T_k — время k-го шага. На каждом шаге время умножается на множитель 0.8 * 0.2 = 0.16:

T_1 = 9.6
T_2 = 9.6 * 0.16 = 1.536
T_3 = 9.6 * 0.16^2 = 0.24576
...

Сумма геометрической прогрессии: S = 9.6 * (1 + 0.16 + 0.16^2 + ...) = 9.6 / (1 - 0.16) = 9.6 / 0.84 ≈ 11.4286 мин

Шаг 3. Экономия

60 - 11.4286 ≈ 48.5714 ⇒ примерно 48.57 минут, или ≈ 49 минут.

Альтернативная трактовка

Если «80% бардака за 20% времени» формально применяется к полному обычному времени (60 мин) на каждой итерации, получится T_k = 60 * 0.20 * 0.16^{k-1}. Сумма: 60 * 0.20 / 0.84 ≈ 14.28. Экономия ≈ 45.7. Эту трактовку условие вроде бы исключает («того времени, которое это должно было занять»).

Эталонный ответ

Сумма геометрической прогрессии с множителем 0.16 и первым членом 9.6:

S = 9.6 / (1 - 0.16) = 9.6 / 0.84 = 80/7 ≈ 11.43

Экономия: 60 - 80/7 = (420 - 80)/7 = 340/7 ≈ 48.57 мин.

В округлении до целых — 49 минут или 48 в зависимости от договорённости.

Подводные камни

«20% от обычного времени уборки» vs «20% от времени, которое обычно занимает текущая часть». Условие вторая формулировка — поэтому множитель 0.16 (0.8 * 0.2), а не 0.2.
Сходимость. Геометрическая прогрессия с q = 0.16 < 1 сходится — иначе уборка длилась бы вечно.
«Бардак равномерный» означает, что время пропорционально объёму бардака. Это даёт T = 0.8 * 0.2 * T_prev.
Округление. В задаче часто требуется в минутах целочисленно — уточнить.

Парадокс Парето — экономия времени на уборке