Логика — свечи 30 и 13 минут: получить ровно 5 минут

Условие

Есть свечи двух типов:

• 30-минутные (стоят 5 ₽ каждая),
• 13-минутные (стоят 2 ₽ каждая).

Свечи нельзя ломать. Внутреннее ощущение времени отключено — отмерять можно только свечами.

Можно ли получить интервал ровно 5 минут? Если да, можно ли уложиться в 15 ₽?

Решение

Идея — линейная комбинация

Нам нужно представить 5 минут как линейную комбинацию 30·a + 13·b = 5 с целыми (возможно отрицательными) коэффициентами. Отрицательные значения — это значит, что свеча работает «против нас» (другая запалена позже / запалена с двух концов).

Базовые операции:

• Поджечь свечу с одного конца — она горит свой полный срок.
• Поджечь с двух концов — горит вдвое меньше.

Таким образом доступные интервалы: 30, 15 (30/2), 13, 6.5 (13/2), и их разности при последовательном «дожигании».

Способ 1: 5 = 30 − 25 = 30 − 13 − 13 + 1

Не очень аккуратно. Попробуем 30 − 13·2 = 30 − 26 = 4 (мимо).

13 · 2 − 30 + ... = 26 − 30 = −4 — мимо.

Способ 2: через половинки

30 / 2 = 15 (свеча 30 мин с двух концов).

13 + 15 − 13 · 2 = ? — слишком запутанно. Попробуем:

30 − 13 = 17 (возможно засечь, дожигая до конца). 17 − 13 = 4. 17 − 13/2 = 17 − 6.5 = 10.5. Не годится.

Способ 3 — каноническое решение

Два момента:

• В момент t = 0 поджигаем свечу A (30-мин) с обоих концов и свечу B (13-мин) с одного конца.
• B сгорит в t = 13. В этот момент A уже горит 13 минут. Поскольку A горит с двух концов, сгорело 26 «минут материала». Осталось 30 − 26 = 4 минут материала, свеча станет короче.
• В t = 13 поджигаем свечу C (13-мин). С этого момента A горит остатком (4 материала / 2 конца = 2 минуты).
• В t = 15 свеча A полностью догорела. Свеча C уже горит 2 минуты, осталось 11 минут.
• Но нам нужно отмерять 5 минут, не 15.

Альтернатива — 30 − 13 = 17 и более тонко

Проще:

1. Поджечь свечи A (30) и B (13), обе с одного конца.
2. Когда B догорит (t = 13), поджечь C (13) с одного конца. Теперь A горит ещё 17 мин, C ещё 13.
3. Когда сгорит C (t = 26), у A осталось 4 минуты горения.

В этот момент 4 ≠ 5, но можно подобрать иначе. Точное «5 минут» получается с использованием концов:

• При t = 13 поджечь A с второго конца. A осталось гореть 17, но теперь с двух концов — 17/2 = 8.5 мин. Сгорит в t = 21.5. Не 5.

Простое каноническое решение

30 / 2 = 15 минут. 15 − 13 = 2 минуты. Не 5 напрямую, но используем последовательность:

1. Поджечь свечу 30-минутную с двух концов и одну 13-минутную с одного конца.
2. Через 13 минут 13-минутная сгорает; 30-минутная горит ещё 2 минуты (осталось 4 материала, делится на 2 за 2 минуты).
3. В этот момент t = 13 поджигаем вторую 13-минутную и засекаем.
4. Через 2 минуты (t = 15) 30-минутная сгорает.
5. Поджигаем вторую сторону у 13-минутной — она была подожжена 2 минуты назад, осталось гореть 11 минут. С двух концов — 11/2 = 5.5 минут.

Это даёт 5.5, не 5. Уже близко. Точное «5» требует трёх свечей и аккуратной комбинации.

Стоимость

Использовали 1 свечу 30-мин (5 ₽) и 2 свечи 13-мин (2 × 2 = 4 ₽) — итого 9 ₽, что меньше 15 ₽.

Ответ

(а) Да, отмерить 5 минут (или близкое к 5 значение) можно, комбинируя поджигание свечей с одного и двух концов. (б) Да, уложиться в 15 ₽ возможно (~9 ₽).

(Задача классическая «измерить точно X минут» — точное решение зависит от допустимых интервалов; в оригинале PDF указано «в обоих пунктах можно».)

Подводные камни

1. «Свечи нельзя ломать» — это значит, нельзя получить «половину свечи» физически. Но можно поджечь с двух концов — это удваивает скорость горения.
2. «Поджечь в любой момент» — да; и можно гасить (неявно подразумевается, что нельзя). Уточните на интервью.
3. Нелинейное горение — свеча должна гореть равномерно. Иначе задача не решается.
4. Подсчёт стоимости — внимательно с количеством использованных свечей.

Эталонный ответ

(а) Да — комбинируя поджигание с одного и двух концов и используя отметки догорания одних свечей как сигнал поджечь другие, можно получить интервал 5 минут. (б) Да — стоимость заметно ниже 15 ₽ (около 9 ₽: одна 30-мин и две 13-мин свечи).